Jeżeli $y=b_0+b_1x$ jest równaniem prostej regresji, to w teście istotności regresji hipoteza alternatywna ma postać:

Jeżeli $X_1,\ldots,X_n$ jest dużą próbą z rozkładu o wartości oczekiwanej $\mu$ i odchyleniu standardowym $\sigma$, to suma $X_1+\cdots+X_n$ ma asymptotyczny rozkład:

W analizie wariancji nie odrzucimy hipotezy zerowej, gdy wartość statystyki testowej jest:

Dodatnia wartość kowariancji między zmiennymi $X$ i $Y$ oznacza, że:

Poziom ufności $1-\alpha$ oznacza:

Niech $L$ i $U$ będą funkcjami zmiennych losowych tworzących próbkę spełniającą $P(L < \mu < U) = 0{,}99$. Wtedy z 99% pewnością przedział $(L,U)$ pokrywa prawdziwą wartość:

Niech dyskretna zmienna losowa $X$ przyjmuje wartości $x_1<x_2<x_3$ z prawdopodobieństwami odpowiednio $p_1,p_2,p_3$. Wtedy $P(X=x_2)$ wynosi:

Rozważmy przykład, w którym chcemy porównać dwa rozkłady, a założenie o normalności nie ma sensu, ponieważ na przykład zbieramy tylko pomiary całkowite lub rozkłady są skośne. Który test jest odpowiedni do sprawdzenia, czy rozkłady są identyczne, jeśli próbki nie są niezależne?

Mediana (drugi kwartyl):

Jeżeli $(L,U)$ jest 95% przedziałem ufności dla odchylenia standardowego populacji, to z ufnością 95% przedział ten:

Próba:

Aby przeprowadzić analizę wariancji (ANOVA) w celu przetestowania hipotezy o równości kilku średnich populacji, muszą być spełnione następujące założenia:

Rozstęp międzykwartylowy to:

Test Tukeya jest przykładem:

Błąd II rodzaju polega na:

Jeśli te same osoby rozwiązują kilka zadań w losowej kolejności i chcemy porównać rozkłady czasów ich rozwiązywania, użyjemy:

Test Kruskala-Wallisa jest nieparametrycznym odpowiednikiem:

Współczynniki liniowego modelu regresji $y=b_0+b_1x$ można wyznaczyć w R za pomocą:

Hipoteza: $H_0: \sigma^2 = 0{,}9$, $H_1: \sigma^2 \neq 0{,}9$, jest związana z testowaniem:

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej jest:

Załóżmy, że pobrana została $n$-elementowa próba z rozkładu normalnego ze znanym odchyleniem standardowym $\sigma$. Do oceny przedziałowej średniej populacyjnej możemy wykorzystać funkcję:

Niech $f(x)$ będzie funkcją gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej $X$ i niech $F(x)$ będzie jej dystrybuantą. Wówczas $P(a < X < b)$ nie może być obliczone ze wzoru:

Do oceny przedziałowej różnicy proporcji populacyjnych można wykorzystać funkcję:

Która z poniższych funkcji nie jest przeznaczona do testowania normalności rozkładu?

Jeżeli chcemy sprawdzić, czy kolor samochodu wpływa na średnią sprzedaż danego modelu, a dostępne są co najmniej trzy kolory, najrozsądniej jest:

Jeśli równanie prostej regresji ma postać y=b0+b1x, to dodatnia wartość współczynnika regresji b1 informuje:

Testu chi-kwadrat nie użyjemy bezpośrednio do testowania:

Do weryfikacji hipotezy o dwóch proporcjach populacyjnych można wykorzystać funkcję:

Załóżmy, że przeprowadzono analizę wariancji i odrzucono hipotezę zerową o równości kilku środków populacji. Następnie możemy wykonać testy post-hoc, na przykład test Tukey Honest Significant Difference. Co wywnioskujemy z takiego testu post-hoc?

Notacji H0:p≤0.9, H1:p>0.9 użyjemy do zapisu:

Do testowania hipotezy o normalności rozkładu populacji można użyć:

Wykres dystrybuanty zmiennej losowej dyskretnej ma kształt:

Testy post-hoc po ANOVA stosuje się, aby:

Z wykresu pudełkowego nie odczytamy wartości:

Załóżmy, że wartość kowariancji próbki między dwiema zmiennymi losowymi jest równa $-0{,}9$. To pokazuje, że:

Na wykresie pudełkowym można zobaczyć następujące wielkości:

Moda (dominanta):

Błąd I-go rodzaju popełniamy, gdy:

W celu zbadania liniowej zależności między dwiema zmiennymi ilościowymi można zastosować:

Zbiór wartości, który z prawdopodobieństwem $1-\alpha$ pokrywa prawdziwą wartość nieznanego parametru populacji, to:

Załóżmy, że dwie próbki są losowo wybierane z normalnie rozmieszczonych populacji. Zanim zostanie skonstruowany przedział ufności dla różnicy między środkami populacji, najpierw zweryfikujemy, czy:

Dystrybuanta $F(x)$ zmiennej losowej oznacza:

Rozkład prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej może być przedstawiony:

Która z poniższych wielkości nie jest statystyką?

Analiza wariancji (ANOVA) służy do testowania hipotezy o równości:

W przedziale ufności dla średniej populacji $\mu$ losowe są:

Załóżmy, że $X$ jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem $\lambda$. Prawdopodobieństwo, że $X$ jest większe od pewnego $a$, czyli $P(X > a)$, można obliczyć jako:

Niech $L$ i $U$ będą funkcjami zmiennych losowych stanowiących próbkę spełniającą $P(L < \sigma^2 < U) = 0{,}9$. Następnie różnica $(U-L)$:

Która z poniższych wielkości jest statystyką?

Hipotezę zerową odrzucamy na poziomie istotności $\alpha$, gdy:

Załóżmy, że dwie próbki są losowo wybrane z populacji o rozkładzie normalnym. Aby skonstruować przedział ufności dla różnicy średnich populacji, nie musimy weryfikować założenia o:

Jeżeli $X_1,\ldots,X_n$ jest próbą z rozkładu normalnego o średniej $\mu$ i odchyleniu standardowym $\sigma$, to średnia z próby $\overline{X}$ ma rozkład:

Notacja $H_0:\mu \geq 5$, $H_1:\mu < 5$ opisuje:

Jedną z miar zróżnicowania jest:

Która z poniższych funkcji przeznaczona jest do testowania hipotezy o dopasowaniu rozkładu liczebności do zadanego wzorca?

Mediana na wykresie pudełkowym jest zazwyczaj przedstawiona jako:

Gdy dwóch ekspertów sporządza rankingi tych samych tancerzy, do sprawdzenia zgodności ich opinii użyjemy:

Załóżmy, że po przeprowadzeniu analizy wariancji hipoteza zerowa o równości kilku średnich populacyjnych została odrzucona. Wówczas interesujące jest zazwyczaj wyznaczenie grup jednorodnych. Nie dokonamy tego wykorzystując:

Wykres pudełkowy pozwala odczytać:

Do weryfikacji hipotezy o dwóch średnich populacyjnych nie użyjemy:

Funkcja `shapiro.test` służy do:

Estymatorów współczynników równania regresji nie wyznaczymy za pomocą:

Testy nieparametryczne opierają się na:

Jeśli równanie prostej regresji ma postać y=b0+b1x, to ujemna wartość współczynnika regresji informuje:

Dla ciągłej zmiennej losowej dystrybuanta jest zwykle:

Hipotezę zerową odrzucamy, gdy:

Statystyka to:

Funkcja `lillie.test` służy do:

Ujemna wartość współczynnika korelacji między zmiennymi $X$ i $Y$ oznacza, że:

Która z wielkości nie mierzy zróżnicowania?

Konstruując szereg rozdzielczy lub histogram, należy zadbać, aby przedziały:

Załóżmy, że pobrane zostały losowo dwie próby z rozkładów normalnych. Do oceny przedziałowej ilorazu wariancji populacyjnych można wykorzystać funkcję:

Która z poniższych funkcji nie przyda się do testowania normalności rozkładu prawdopodobieństwa?

Rozważmy eksperyment, w którym badana jest liczba niedopełnionych puszek w zależności od automatu napełniającego (jest 6 automatów). Eksperymentator zauważył, że z upływem czasu ilość napoju w puszce maleje, niezależnie od tego, który automat je napełnia. Zatem założenie o normalności rozkładu liczby niedopełnionych puszek nie ma sensu. Którego testu użyć do sprawdzenia, czy wybór automatu ma wpływ na liczbę niedopełnionych puszek?

Do testowania hipotezy o dwóch średnich populacyjnych dla dużych prób można wykorzystać funkcję:

Gdy trzech studentów sporządza rankingi tych samych wykładowców, do sprawdzenia zgodności ich ankiet użyjemy:

Znaczenie testu, zazwyczaj oznaczane przez $\alpha$, jest równe:

Funkcja `binom.test` w R służy między innymi do:

Jeżeli $X_1,\ldots,X_n$ jest próbą z rozkładu normalnego ze średnią $\mu$ i odchyleniem standardowym $\sigma$, to suma $X_1+\cdots+X_n$: